microéconomie S2 fonction Cobb-Douglass Exercice Corrigé

EXERCICE DE MICROECONOMIE : fonction Cobb-Douglass :

Une entreprise fabrique un bien Q et à l’aide des deux facteurs de production : le capital (K) et le travail (L). Les deux facteurs sont utilisés de manière interchangeable avec un taux variable. Sachant que l’échelle de production est égale à l’unité, l’élasticité de production par rapport au travail est égale à 0,25 et que l’élasticité de production par rapport au capital est égale aussi à 0,25.

1- Ecrire la fonction de production

2- Représenter graphiquement 2 isoquantes associées respectivement aux niveaux d’output : Q0=2 et Q1=4. Commenter.

3- Supposons que K est fixé K=K0=4, interpréter cela économiquement. Quelle sera alors la quantité du facteur travail que l’entreprise devra employer pour dégager un niveau de production égal à 5 unités produites ?

4- Calculer le TMSTL ,K de deux manières. Interpréter.

CORRIGE:

1. Ecrire la fonction de production :

Il s’agit d’une fonction de production à facteurs imparfaitement substituables puisque les deux facteurs sont utilisés de manière interchangeable et que le taux de substitution est variable.

La fonction de production s’ecrit : Q=AK α Lᵝ ; avec α>0, et β>0.

Puisque A=1 et β=1 /4
Q(K , L)= K1/4 L1/4

2. Représenter graphiquement 2 isoquantes associées respectivement aux niveaux d’output : Q0=2 et Q1=4. commenter.

Pour déterminer l’équation de l’isoquante, on fixe le niveau de production Q= Q0 et on écrit Ken fonction de L ou L en fonction de K.

Q=Q0→ K1/4 L1/4= Q0→ K1/4 =L ¬-1/4 .Q0 → K= L ¬-1 .Q04 → K= Q04/L

Pour Q0=2 → K=16 /L, on représentera les combinaisons (K ; L) suivantes (16 ; 1), (8 ; 2), (4 ; 4).

Pour Q0=4 → K=256 /L, on représentera les combinaisons (K ; L) suivantes (16 ; 16), (32 ; 8), (64 ; 4).

3 . Supposons que K est fixé : K=K0=4, interpréter cela économiquement. Quelle sera alors la quantité du facteur travail que l’entreprise devra employer pour dégager un niveau de production égal à 5 unités produites ?

K=K0=4 signifie que le capital est le facteur fixe. Ainsi la quantité produite est indépendante du facteur capital, elle varie uniquement en fonction du facteur travail. On conséquence, on se situe en courte période.
Pour produire 5 unités d’output, sachant que le capital est fixé à 4 unités le producteur doit utiliser 625/4 unités de travail, 126,25 unités de travail.

3. Calculer le TMSTL ,K de deux manières. Interpréter.

a partir de l’équation de l’isoquante, le TMSTL ,K=-dk/dL

on a K= Q04/L → -dk/dL =-(- Q04/L2)

TMSTL ,K= Q04/L2

A partir de la fonction de production : le TMSTL ,K est égal au rapport des productivités marginales des deux facteurs : TMSTL ,K=QL/QK

TMSTL ,K=(0,25 K0,25 L-0,75) /(0,25 K-0,75 L0,25)=K/L

C’est une fonction décroissante de L.

……Voir l’expliquation du corrigé dans la video

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